Bögen, Verhältnisse und Bogenmaß (Artikel)

Wir können die Proportionalitätskonstante zwischen der Bogenlänge und dem Radius eines Sektors zur Beschreibung eines Winkelmaßes verwenden, da alle Sektoren mit demselben Winkelmaß ähnlich sind.

Erweiterte Kreise und Sektoren

Alle Kreise sind ähnlich, da wir jeden Kreis mithilfe starrer Transformationen und Erweiterungen auf einen anderen abbilden können. Kreise sindnichtalle deckungsgleich, da sie unterschiedliche Radiuslängen haben können.

ASektorist der Teil des Inneren eines Kreises zwischen zwei Radien. Um ähnlich zu sein, müssen zwei Sektoren übereinstimmende Mittelpunktswinkel haben.

EinBogenist der Teil des Umfangs eines Kreises zwischen zwei Radien. Ebenso müssen zwei Bögen übereinstimmende Mittelpunktswinkel haben, um ähnlich zu sein.

Ein Kreis mit zwei markierten und beschrifteten Radien. Die Außenkante des Kreises zwischen den Radien wird als Bogen bezeichnet. Die Fläche des Kreises zwischen den Radien wird als Sektor bezeichnet.

Kreis B und sein Sektor sind Erweiterungen von Kreis A und seinem Sektor mit einem Skalierungsfaktor von $3$ 33.

Zwei Kreise. Der Mittelpunkt des Kreises links ist mit A bezeichnet. Der Mittelpunkt des Kreises rechts ist mit B bezeichnet. Ein Viertel beider Kreise ist schattiert.

Welche Eigenschaften von Kreis B sind die gleichen wie in Kreis A?

Eigentum	Gleich oder anders
Bereich des Sektors
Zentralwinkelmaß des Sektors
Radiuslänge
Länge des durch den Sektor definierten Bogens
Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Radius
Verhältnis der Bogenlänge zum Radius

Überlegungen zu Verhältnissen

Als wir rechtwinklige Dreiecke untersuchten, lernten wir, dass für einen gegebenen spitzen Winkel das Verhältnis gilt $\dfrac{\text{gegenüberliegende Beinlänge}}{\text{Hypotenusenlänge}}$ Hypotenusenlängeentgegengesetzte BeinlängeStartbruch, Starttext, o, p, p, o, s, i, t, e, Leerzeichen, l, e, g, Leerzeichen, l, e, n, g, t, h, Endtext, geteilt durch, Starttext, h, y, p, o, t, e, n, u, s, e, Leerzeichen, l, e, n, g, t, h, Endtext, Endbruchwar immer gleich, egal wie groß das rechtwinklige Dreieck war. Wir nennen dieses Verhältnis den Sinus des Winkels.

Etwas ganz Ähnliches passiert, wenn wir das Verhältnis betrachten $\dfrac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radiuslänge}}$ RadiuslängeBogenlängeStartbruch, Starttext, a, r, c, Leerzeichen, l, e, n, g, t, h, Endtext, geteilt durch, Starttext, r, a, d, i, u, s, Leerzeichen, l , e, n, g, t, h, Endtext, Endbruchin einem Sektor mit einem bestimmten Winkel. Versuchen Sie für jede der unten aufgeführten Behauptungen, sich selbst den Grund zu erklären, bevor Sie sich die Erklärung ansehen.

Die Sektoren in diesen beiden Kreisen haben das gleiche Mittelpunktswinkelmaß.

Zwei Kreise. Der Kreis auf der linken Seite trägt die Bezeichnung „Kreis eins“. Der Kreis rechts trägt die Bezeichnung Kreis zwei. Kreis eins ist kleiner als Kreis zwei. In Kreis eins ist die Radiuslänge mit R eins und die Bogenlänge mit L eins beschriftet. Das zentrale Winkelmaß des Bogens im ersten Kreis ist Theta. In Kreis zwei ist eine Radiuslänge mit R zwei und die Bogenlänge mit L zwei gekennzeichnet. Das zentrale Winkelmaß des Bogens im Kreis zwei ist Theta.

Ansprüche

Kreis 2 ist eine Erweiterung von Kreis 1.
[Woher wissen wir?]
Wenn der Skalierungsfaktor von Kreis 1 zu Kreis 2 beträgt $\purpleD{k}$ kStartfarbe #7854ab, k, Endfarbe #7854ab, Dann $r_2=\purpleD{k}r_1$ R2=kR1r, Startindex, 2, Endindex, gleich, Startfarbe #7854ab, k, Endfarbe #7854ab, r, Startindex, 1, Endindex.
[Woher wissen wir?]
Die Bogenlänge im Kreis 1 beträgt $\redE{\ell_1}=\redE{\dfrac{\theta}{360\degree} \cdot 2\pi r_1}$ ℓ1=360°ich⋅2PiR1Startfarbe #bc2612, ell, Startindex, 1, Endindex, Endfarbe #bc2612, gleich, Startfarbe #bc2612, Startbruch, Theta, geteilt durch, 360, Grad, Endbruch, Punkt, 2, pi, r, Startindex, 1, Endindex, Endfarbe #bc2612.
[Woher wissen wir?]
Aus dem gleichen Grund beträgt die Bogenlänge im Kreis 2 $\goldE{\ell_2}=\goldE{\dfrac{\theta}{360\degree } \cdot 2\pi r_2}$ ℓ2=360°ich⋅2PiR2Startfarbe #a75a05, ell, Startindex, 2, Endindex, Endfarbe #a75a05, gleich, Startfarbe #a75a05, Startbruch, Theta, geteilt durch, 360, Grad, Endbruch, Punkt, 2, pi, r, Startindex, 2, Endindex, Endfarbe #a75a05.
Durch Ersetzen können wir das umschreiben als $\goldE{\ell_2}=\dfrac{\theta}{360\degree } \cdot 2\pi \purpleD{k}{r_1}$ ℓ2=360°ich⋅2PikR1Startfarbe #a75a05, ell, Startindex, 2, Endindex, Endfarbe #a75a05, gleich, Startbruch, Theta, geteilt durch, 360, Grad, Endbruch, Punkt, 2, Pi, Startfarbe #7854ab, k, Endfarbe #7854ab, r, Startindex, 1, Endindex.
Also $\goldE{\ell_2}=\purpleD{k}\redE{\ell_1}$ ℓ2=kℓ1Startfarbe #a75a05, ell, Startindex, 2, Endindex, Endfarbe #a75a05, gleich, Startfarbe #7854ab, k, Endfarbe #7854ab, Startfarbe #bc2612, ell, Startindex, 1, Endindex, Ende Farbe #bc2612.
[Woher wissen wir?]

[Was bedeutet diese Gleichung in Worten?]
Abschließend, $\dfrac{\redE{\ell_1}}{r_1}=\dfrac{\goldE{\ell_2}}{r_2}$ R1ℓ1=R2ℓ2Startbruch, Startfarbe #bc2612, ell, Startindex, 1, Endindex, Endfarbe #bc2612, geteilt durch, r, Startindex, 1, Endindex, Endbruch, gleich, Startbruch, Startfarbe #a75a05, ell , Startindex, 2, Endindex, Endfarbe #a75a05, geteilt durch, r, Startindex, 2, Endindex, Endbruch.
[Woher wissen wir?]

Abschluss

Das Verhältnis von Bogenlänge zu Radiuslänge ist in zwei beliebigen Sektoren mit einem bestimmten Winkel gleich, egal wie groß die Kreise sind!

Ein neues Verhältnis und eine neue Art der Winkelmessung

Für jeden Winkel können wir uns einen Kreis vorstellen, dessen Mittelpunkt an seinem Scheitelpunkt liegt. DerBogenmaßDas Maß des Winkels entspricht dem Verhältnis $\dfrac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}}$ RadiusBogenlängeStartbruch, Starttext, a, r, c, Leerzeichen, l, e, n, g, t, h, Endtext, geteilt durch, Starttext, r, a, d, i, u, s, Endtext, Endbruch. Der Winkel hat das gleiche Bogenmaß, egal wie groß der Kreis ist.

Vervollständigen Sie die Tabelle mit der Maßeinheit in Grad und dem Wert des Verhältnisses $\dfrac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}}$ RadiusBogenlängeStartbruch, Starttext, a, r, c, Leerzeichen, l, e, n, g, t, h, Endtext, geteilt durch, Starttext, r, a, d, i, u, s, Endtext, Endbruchfür jeden Bruchteil eines Kreises.

Fraktion	Zentralwinkelmaß (Grad)	Zentralwinkelmaß (Bogenmaß) $\theta=\dfrac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}}$ ich=RadiusBogenlängeTheta, gleich, Startbruch, Starttext, a, r, c, Leerzeichen, l, e, n, g, t, h, Endtext, geteilt durch, Starttext, r, a, d, i, u, s , Endtext, Endbruch
$\dfrac{1}{2}$ 21Anfangsbruch, 1, geteilt durch, 2, Endbruch	$\Grad$ °Grad	$\theta=$ ich=Theta, gleich
$\dfrac{1}{3}$ 31Anfangsbruch, 1, geteilt durch, 3, Endbruch	$\Grad$ °Grad	$\theta=$ ich=Theta, gleich
$\dfrac{1}{4}$ 41Anfangsbruch, 1, geteilt durch, 4, Endbruch	$\Grad$ °Grad	$\theta=$ ich=Theta, gleich

Weitere Möglichkeiten zur Beschreibung des Bogenmaßes

Ein Bogenmaß ist das Winkelmaß, das wir drehen, um eine Radiuslänge um den Umfang eines Kreises zurückzulegen.

Ein Kreis. Es gibt zwei Radien, die einen Mittelpunktswinkel bilden. Die Bogenlänge entspricht der Länge des Radius.

AlsoBogenmaßsind die Proportionalitätskonstante zwischen einer Bogenlänge und der Radiuslänge.

$\begin{aligned}\theta&=\dfrac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}}\\\\\theta \cdot \text{Radius}&=\text{Bogenlänge}\end{aligned }$ ichich⋅Radius=RadiusBogenlänge=Bogenlänge

Es braucht $2\pi$ 2Pi2, piBogenmaß (etwas mehr als $6$ 66Bogenmaß), um eine vollständige Drehung um den Mittelpunkt eines Kreises durchzuführen. Das macht Sinn, denn der volle Umfang eines Kreises beträgt $2\pi r$ 2PiR2, pi, r, oder $2\pi$ 2Pi2, piRadiuslängen.

Ein in sieben Sektoren unterteilter Kreis. Sechs der Sektoren haben ein Mittelpunktswinkelmaß von einem Bogenmaß und eine Bogenlänge, die der Länge des Kreisradius entspricht. Der siebte Sektor ist ein kleinerer Sektor. Die sieben Sektoren stellen die etwas mehr als sechs Bogenmaße dar, die für eine vollständige Drehung um den Mittelpunkt eines Kreises erforderlich sind.

Warum Bogenmaß statt Grad verwenden?

So wie wir für unterschiedliche Zwecke unterschiedliche Längeneinheiten wählen, können wir auch unsere Winkelmaßeinheiten je nach Situation auswählen.

Grade können hilfreich sein, wenn wir mit ganzen Zahlen arbeiten wollen, da mehrere gemeinsame Brüche eines Kreises ganze Gradzahlen haben. Das Bogenmaß kann Formeln vereinfachen, insbesondere wenn wir Bogenlängen ermitteln.

Es gibt auch mehrere andere Möglichkeiten, Winkel zu messen, z. B. einfach die Anzahl der vollen Umdrehungen zu beschreiben oder eine volle Umdrehung in 100 gleiche Teile zu teilen. Am wichtigsten ist es, sicherzustellen, dass Sie mitgeteilt haben, welches Maß Sie verwenden, damit jeder versteht, wie groß die Drehung zwischen den Winkelstrahlen ist.

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